群、域、环这三者是我们在学习密码学知识中不可避免要遇到的名词，那么它们到底指代的是什么样的结构呢？这篇文章就来给大家进行一个简单的科普
前提知识
幺元
若对于一个二元运算 + （ + 并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，存在一个元素，对于其他任何元素，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何元素本身，则称这个元素是这个集合对于该二元运算 + 的幺元，记为 e。以加法为例，0就是在整数集合中加法的幺元。
零元
若对于一个二元运算 + （ + 并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，存在一个元素，对于其他任何元素，通过这个二元运算之后，结果都是这个元素本身，则称这个数是这个集合对于该二元运算 + 的零元，记为 θ 。以乘法为例， 0 就是在整数集合中加法的零元。
逆元
若对于一个二元运算 + （+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），存在一个元素 a ，满足 （ e 为该运算的幺元），则 a 与 互为逆元。以加法为例，整数这个集合中，一个数和它的相反数互为逆元。
群
定义
满足以下公理的集合 G 称为群：（注： × 为广义运算）
- 在运算 × 下是封闭的，即对于所有 G 中的 a，b，运算 a×b 的结果也存在于 G 中；
- 存在幺元（单位元），且唯一，即 a×e = e×a = a ；
- 对于 G 中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一，即 a×b = b×a = e ；
- 对于 G 中的任意的元，都满足结合律。
性质
- 当一个群 G 中只含有有限元素，那么这些元素的个数记为群 G 的阶，记作 #G。
- 一个群 G 中的任何子群在相同的运算下如果也是群，则称之为群 G 的一个子群。
- 如果存在一个最小正整数 k ，满足 ，则称 k 为群 G 中元素 g 的阶。
- 有限群（即有着有限多个元素的群）中任意元素 β 的阶可整除该群的阶。
- 相较于无限群，有限群因为其易在计算机中实现，故其在密码学中的作用更大。
特殊的群
阿贝尔群
在群中群运算的次序很重要，把元素 a 与元素 b 结合，所得到的结果不一定与把元素 b 与元素 a 结合相同；亦即，（交换律）不一定恒成立。而满足交换律的群就被称为交换群，即阿贝尔群
半群
在运算 × 下是封闭的；对于G中的任意的元，都满足结合律。但是并不满足其他群的定义。
环
定义
满足以下公理的集合 R 称为环：
对于加法的代数系统+：（环在加法下是一个阿贝尔群）
- 在运算 + 下是封闭的；
- 存在幺元（单位元），且唯一；
- 对于 R 中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
- 对于 R 中的任意的元，都满足结合律；
- 对于 R 中的任意的元，都满足交换律。
对于乘法的代数系统 × ：（环在乘法下是一个半群）
- 在运算 × 下是封闭的；
- 对于 R 中的任意的元，都满足结合律；
关于运算 + 和 × ：
对于 R 中的任意的元，都满足分配律。
性质
- 若环中的乘法运算满足交换律，即 a×b = b×a ，这样的环称为交换环。
- 若环中的乘法运算拥有幺元，这样的环称之为含幺环。
简而言之，环是细化的群。
域
定义
满足以下公理的集合 F 称为域：
对于加法的代数系统 + ：（域在加法下是一个阿贝尔群）
- 在运算 + 下是封闭的；
- 存在幺元（单位元），且唯一；
- 对于 F 中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
- 对于 F 中的任意的元，都满足结合律；
- 对于 F 中的任意的元，都满足交换律。
对于乘法的代数系统 × ：（域（0元素除外）在乘法下是一个阿贝尔群）
- 在运算 + 下是封闭的；
- 存在幺元（单位元），且唯一；
- 对于 F 中的任意的元（除0元素），都有与其对应的逆元，且唯一；
- 对于 F 中的任意的元，都满足结合律；
- 对于 F 中的任意的元，都满足交换律。
关于运算 + 和 × ：
对于 F 中的任意的元，都满足分配律。
域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元之外）可以进行除法运算，这等于说每个非零的元素都要有乘法逆元。
性质
- 域的一个子集如果在继承的加法和乘法运算下本身也是一个域，就称为子域。例如，实数域便是复数域的一个子域。
- 含有有限个元素的域称为有限域 Fq 或伽罗华域 GF(q) ，其中 q 为该有限域的元素个数。
- 含有 2m 个元素的有限域称为二进制域。
- 含有 p （ p 为奇素数）个元素的有限域称为二进制域。
- 含有 pm （ p 为素数）个元素的有限域称为特征值为 p 的域。在特征值为 p 的有限域中，表达式恒成立。