我们都知道，在 ZK-SNARKs 中我们整合了许多工具，从而一步步达到了我们想要的目的，即零知识和证明。而双线性配对是其中非常重要的一环。为什么这么说呢，下面我们就来介绍一下双线性配对在零知识证明中的意义。
配对的基本概念
配对（Pairing）将输入的两个群成员映射为第三个群的成员，将配对记为e。
e：
上式左边的群由椭圆曲线上的点构成。
配对必须具备一些代数特征，比如最重要的双线性：
而配对的另一个非常重要的特征就是非退化性：
右边的 1 表示目标群 中的乘法单位元。非退化性保证了只要我们选择椭圆曲线上的非单位成员 G ，就能得到目标群中的非单位元。
双线性配对在零知识证明中的应用
开门见山，最重要的一句话：
配对可以用于验证一个数学过程是否正确执行，配对可以揭示秘密值是通过加法以及最多一次乘法来关联起来的
同样，这也是配对在 ZK-SNARKs 中的用途。假设，存在这样一个二次方程：
为了说服你我的确知道上述方程的一个解，一个办法就是告诉你我所知道的这个解，然后你自己带入上述方程去验证。另一个办法就是我不告诉你这个具体的解是多少，但是使用椭圆曲线上的配进行验证。
首先注意，如果：
那么 k 要么是0，要么是群的阶的倍数，因此如果以下等式成立，我们就可以确定二次方程成立：
此时，我需要说服你我知道当前方程式的解 a ，但是我却不能暴露给你，于是我就利用椭圆曲线的特性，把解 a 作为一个生成元，由此来获得该椭圆曲线上的两个点，即 。我可以把 都给你，但是由于离散对数难的特性，你也无法计算出 a 的值，所以我们就保证了 a 值的秘密性。此时我们就可以使用配对来计算：
根据之前提到的双线性的特性，我们知道上述算式就等于：
如果这个式子等于 1 ，那也就意味着 极有可能等于 0 。
总结一下，对于 zk-SNARKs 来说，椭圆曲线配对被应用在对二阶约束系统系统的检测上，当且仅当满足二阶约束时，系统才会转换为具有特定根的单个大多项式。
最后给大家推荐一下关于配对的入门书籍：
Craig Costello’s Pairings for Beginners:
http://www.craigcostello.com.au/pairings/PairingsForBeginners.pdfThis talk by Dan Boneh:
https://www.youtube.com/watch?v=8WDOpzxpnTE